Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）作△ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作ON⊥BC于H首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；

（1）⊙O如图所示；

（2）作OH⊥BC于H．

∵AC是⊙O的切线，

∴OE⊥AC，

∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，

∴四边形ECHO是矩形，

∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，

在Rt△OBH中，OH==2，

∴EC=OH=2，BE==2，

∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，

∴△BCE∽△BED，

∴=，

∴=，

∴DE=．