Question

抛物线y＝ax²+2ax+c（a＞0，c＜0），与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，A点坐标为（﹣3，0），抛物线顶点为D，△ACD的面积为3．

（1）求二次函数解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线第三象限内一点，P关于原点的对称点Q在第一象限内，当QB²取最小值时，求m的值．

Answer

（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）当QB2取最小值时，m的值为﹣1﹣．

【解析】

(1)根据S△ACD＝S△AOD＋S△OCD﹣S△AOC构建方程即可解决问题;
(2)构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;

【解析】
（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax2＋2ax＋c得到c＝﹣3a，

∴抛物线的解析式为y＝ax2＋2ax﹣3a＝a（x＋1）2﹣4a，

∴D（﹣1，﹣4a），C（0，﹣3a），

∵S△ACD＝S△AOD＋S△OCD﹣S△AOC，

∴×3×4a＋×3a×1﹣×3×3a＝15，

解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3．

（2）由题意Q（﹣m，﹣n），B（1，0），

∴QB2＝（m＋1）2＋n2，

∵n＝（m＋1）2﹣4，

∴（m＋1）2＝n＋4，

∴QB2＝n＋4＋n2＝（n＋）2＋，

∴n＝﹣时，QB2有最小值，

此时﹣＝（m＋1）2﹣4，

解得m＝﹣1﹣或﹣1＋（舍弃）．

∴当QB2取最小值时，m的值为﹣1﹣．