Question

如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．

（1）求证：EO＝DC；

（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．

Answer

（1）见解析；（2）50

【解析】

（1）首先证明四边形AEBO是平行四边形，再证明是矩形可得EO=AB，又因为AB=CD，所以EO=DC，问题得证；（2）根据菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积计算即可．

（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD

∴四边形AEBO是平行四边形

又∵菱形ABCD对角线交于点O

∴AC⊥BD

即∠AOB＝90°

∴四边形AEBO是矩形

∴EO＝AB

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝DC

∴EO＝DC．

（2）【解析】
由（1）知四边形AEBO是矩形

∴∠EBO＝90°

∵∠EBA＝60°

∴∠ABO＝30°

在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°

∴AO＝5，BO＝5

∴BD＝10

∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积

＝2×△ABD的面积

＝2××10×5

＝50．