Question

如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F．

（1）若AB＝4，BC＝8，求DF的长；

（2）当DA平分∠EDB时，求的值．

Answer

（1）DF＝5；（2）.

【解析】

（1）易证BF=FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长;（2）已知DA平分∠EDB，根据矩形的角是直角，就可以求出∠ADB，∠BDC的度数，就可以把求两线段的比值的问题转化为三角函数的问题．

（1）∵AD∥BC，

∴∠DBC＝∠FDB，

又∵∠DBC＝∠DBE，

∴∠FDB＝∠FBD，

∴BF＝FD，

设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得到42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴DF＝8﹣3＝5；

（2）∵DA平分∠EDB，

即∠EDA＝∠ADB，

设∠EDA＝∠ADB＝y°，则∠EDB＝2y°，

∴∠BDC＝2y°，

∵∠ADC＝90°，

∴3y＝90°，

解得y＝30°，

∴∠DBC＝30°，

在Rt△CDB中，tan∠DBC＝＝tan30°＝，

又∵AB＝CD，

∴．