Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点

（1）求证：△ABM≌△DCM

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB=        _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

Answer

【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC。

又∵MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）。

（2）四边形MENF是菱形。证明如下：

∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM。

∴NE=FM，NE∥FM。∴四边形MENF是平行四边形。

∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM。

∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF。

∴平行四边形MENF是菱形。

（3）2：1

【解析】

试题（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可。

（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可。

（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：

∵M为AD中点，∴AD=2AM。

∵AD：AB=2：1，∴AM=AB。

∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°。

同理∠DMC=45°。

∴∠EMF=180°-45°-45°=90°。

∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形。