Question

综合与探究

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x²+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．

(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．

(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．

(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

Answer

（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四边形CMNC′的面积为m2.

【解析】

根据抛物线的解析式，令y＝0即可求出两点的坐标.根据抛物线的解析式可分别求出C，D两点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的表达式.

根据题意，利用角的等量关系可以得到∠1＝∠3，进而得到tan∠1＝tan∠3，根据三角函数的计算方法列出等式，根据一次函数的解析式设点的坐标为（xF，﹣2xF＋4），将各线段的长度代入等式即可求出点F的坐标，再根据平移的法则即可求出w′的表达式.

根据平移，可以得到点C′，A′，D′的坐标，再根据待定系数法可以得到直线A′C′，BC，C′D′的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M，N的坐标，根据平移的定义和平行四边形的定义可知四边形CMNC′是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四边形CMNC′的面积.

（1）当y＝0时，﹣x2＋＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，

∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．

∵﹣＝

∴抛物线w的对称轴为直线x＝2，

∴点D坐标为（2，0）．

当x＝0时，y＝4，

∴点C的坐标为（0，4）．

设直线l的表达式为y＝kx＋b，

解得

∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；

(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，

即∠FAC＝90°，如图.

此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，

∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴tan∠1＝tan∠3，

∴=．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），

∴＝，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，

∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣x2＋x；

(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，

可用待定系数法求得

直线A′C′的表达式为y＝x＋4﹣m，

直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，

直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，

分别解方程组和

解得和

∴点M的坐标为（m，﹣m＋4），点N的坐标为（m，﹣ m＋4），

∴yM＝yN

∴MN∥x轴，

∵CC′∥x轴，

∴CC′∥MN．

∵C′D′∥CD，

∴四边形CMNC′是平行四边形，

∴S＝m[4﹣（﹣m＋4）]

＝m2