Question

观察探索：

①（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1

②（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

③（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1

④（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）＝x⁵﹣1

…

（1）根据规律写出第⑤个等式：　   　；

（2）求2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2的值；

（3）请求出2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+…+2²+2的个位数字．

Answer

（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1（2）254（3）6

【解析】

（1）根据探索材料规律写出第⑤个等式；

（2）把27+26+25+24+23+22+2变形为2×（26+25+24+23+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]，依此即可求解；

（3）把22018+22017+22016+…+22+2变形为2×（22017+22016+…+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]，得出原式＝22019﹣2，研究22019的末尾数字规律，进一步解决问题依此即可求解．

（1）第⑤个等式是：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；

（2）27+26+25+24+23+22+2

＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]

＝2×（27﹣1）

＝28﹣2

＝254；

（3）22018+22017+22016+…+22+2

＝2×（22017+22016+…+22+2+1）

＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]

＝2×[（22018﹣1）

＝22019﹣2，

∵21的个位数字是2，22的个位数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，25的个位数字是2，…，

∴2n的个位数字是以2、4、8、6四个数字一循环，

2019÷4＝504…3，

所以22019的个位数字是8，

22019﹣2的个位数字是6．