Question

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．

（1）求∠DFG的度数；

（2）设∠BAD＝θ，

①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；

②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．

Answer

(1)80°；(2)①10°，25°或40°；②5°或45°.

【解析】

试题（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；

（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；

②由已知条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．

试题解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=40°．

∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，

∴△ADB≌△ADF，

∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，

∴AF=AC．

∵AG平分∠FAC，

∴∠FAG=∠CAG．

在△AGF和△AGC中，

AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG，

∴△AGF≌△AGC（SAS），

∴∠AFG=∠C．

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，

∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．

答：∠DFG的度数为80°；

（2）①当GD=GF时，

∴∠GDF=∠GFD=80°．

∵∠ADG=40°+θ，

∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，

∴θ=10°．

当DF=GF时，

∴∠FDG=∠FGD．

∵∠DFG=80°，

∴∠FDG=∠FGD=50°．

∴40°+50°+40°+2θ=180°，

∴θ=25°．

当DF=DG时，

∴∠DFG=∠DGF=80°，

∴∠GDF=20°，

∴40°+20°+40°+2θ=180°，

∴θ=40°．

∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；

②当∠GDF=90°时，

∵∠DFG=80°，

∴40°+90°+40°+2θ=180°，

∴θ=5°．

当∠DGF=90°时，

∵∠DFG=80°，

∴∠GDF=10°，

∴40°+10°+40°+2θ=180°，

∴θ=45°

∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．