Question

已知：关于x的一元二次方程x²﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）k＜﹣1．

【解析】

根据一元二次方程的解及定义，（1）根据公式法可知当≥0时，方程总有两个实数根；（2）通过因式分解法求出两根，可得其中一个为实数、一个为k＋1，再根据方程一根小于0即可求出本题答案.

（1）证明：∵△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）【解析】
∵x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0，

∴x1＝2，x2＝k＋1．

∵方程有一个根小于0，

∴k＋1＜0，

∴k＜﹣1．