Question

如图，在△ABC中，AB=AC．

(1)如图1，若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

①试说明：BD=CD；

②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)如图2，若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径作⊙O与AC相切于点F，与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，CE=2，求切线AF的长．

Answer

(1)①证明见解析；②直线DE与⊙O相切，理由见解析；(2)AF=3．

【解析】

（1）①连接AD，已知AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）直线DE与⊙O相切，连接OD，已知AB=AC、OB=OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠B=∠C，即可判定OD∥BC，由DE⊥AC可得DE⊥OD，由此即可判定DE与⊙O相切；（2）根据已知条件易证四边形ODEF是矩形，即可得OD=EF=4；设AF=x，则AB=AC=x+6，AO =x+2，在Rt△AOF中，利用勾股定理列出方程（x+2）2=x2+42，解方程求得x的值，即可求得AF的长.

(1)①连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD；

②直线DE与⊙O相切，

理由：连接OD，

∵AB=AC，OB=OD，

∴∠ODB=∠B=∠C，

∴OD∥BC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切；

(2)由(1)同理得，DE与⊙O相切，

连接OF，

∵EF与⊙O相切，DE⊥AC，

∴∠ODE=∠OFE=∠EDF=90°，即四边形ODEF是矩形，

∴OD=EF=4，

设AF=x，则AB=AC=x+6，AO=x+6﹣4=x+2，

在Rt△AOF中，

（x+2）2=x2+42，

解得，x=3，

即AF=3．