Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；

（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

Answer

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，理由见解析；（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，理由见解析.

【解析】

解析:

(1)根据已知的AE＝CF ,推出OE＝OF ,根据平行四边形的性质得出OD＝OB ,根据平行四边形的判定推出即可;
(2)根据矩形的性质得出BD＝EF＝12,得出方程16﹣0.5t﹣0.5t＝12,求出即可;当E和F交换位置时得出方程0.5t﹣12＋0.5t＝16,求出即可.

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，

理由是：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，

∴AE＝CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，OA＝OC，

∴OA﹣AE＝OC﹣CF，

∴OE＝OF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）当运动时间t＝4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，

理由是：分为两种情况：

①∵四边形DEBF是矩形，

∴BD＝EF＝12 cm，即AE＝CF＝0.5t cm，

则16﹣0.5t﹣0.5t＝12，

解得：t＝4；

②当E到F位置上，F到E位置上时，AE﹣AF＝AC﹣CF，即0.5t﹣12＋0.5t＝16，

t＝28，

即当运动时间t＝4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形.