Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer

证明：

（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，

又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形. 2分

∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，

又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴四边形AECD是菱形；········· 4分

（2）证法一：∵E是AB中点，∴AE＝BE.

又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，

∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，

∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°.

即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形.

证法二：连DE，则DE⊥AC，且平分AC，

设DE交AC于F，∵E是AB的中点，∴EF∥BC.

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.······· 8分

【解析】

试题（1）先根据平行四边形的定义证得四边形AECD是平行四边形，根据平行线的性质可得∠ACE＝∠CAD，再结合角平分线的性质可得AE＝CE，从而证得结论；（2）由AE＝CE，AE＝BE可得BE＝CE，即可得到∠B＝∠BCE，由∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º可得2∠BCE＋2∠ACE＝180º，即可得到结果.

（1）∵AB∥CD， CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵CE∥AD，

∴∠ACE＝∠CAD．

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAE＝∠CAD．

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE．

∴四边形AECD是菱形；

（2）∵AE＝CE，AE＝BE，

∴BE＝CE，

∴∠B＝∠BCE，

∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º，

∴2∠BCE＋2∠ACE＝180º，

∴∠BCE＋∠ACE＝90º，即∠ACB＝90º．

∴△ABC是直角三角形．