Question

如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4 cm，OA＝5 cm，DE＝2 cm，动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2 cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．

(1)直接写出B，C，D三个点的坐标；

(2)当P，Q两点出发3 s时，求三角形PQC的面积；

(3)设两点运动的时间为t s，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积．

Answer

（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；（2）2；（3） .

【解析】

（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；

（2）先求出点P、Q的坐标，再求出CP、CQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

（3）由题意点P从A运动到C用时需要7秒，点Q从O运动到D用时需要5秒，根据其中一点到达终点时，运动停止，可知运动时间t的取值范围为0≤t≤5，然后分两种情况讨论即可.两种情况分别为①0≤t＜4，此时点P在AB上，点Q在OE上；②4≤t≤5，此时点P在BC上，点Q在DE上.

(1)∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4，OA=5，DE=2，

4+4=8，

∴B(4，5)，C(4，2)，D(8，2)；

(2)当P，Q两点运动3 s时，如图1，此时点P(3，5)，Q(6，0)，

因为C(4，2)，过点P作PM⊥x轴，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，

则有M(3，0)，N（4，0），K（3，2），

所以QM＝MQ=3，CK=MN=1，PK=BC=3，CN=NQ=2，

所以三角形PQC的面积＝×3×5－×1×3－×2×2－2×1＝2；

(3)点P运动的路径长为AB+BC=4+3=7，用时需要7秒，

点Q运动的路径长为OE+DE=8+2=10，用时需要5秒，

根据其中一点到达终点时，运动停止，可知运动时间t的取值范围为0≤t≤5；

①当0≤t＜4时(如图2)，OA＝5，OQ＝2t，

S三角形OPQ＝OQ•OA＝×2t×5＝5t；

②当4≤t≤5时(如图3)，OE＝8，EM＝9－t，PM＝4，MQ＝17－3t，EQ＝2t－8，

S三角形OPQ＝S梯形OPME－S三角形PMQ－S三角形OEQ

＝×(4＋8)×(9－t)－×4×(17－3t)－×8×(2t－8)

＝52－8t，

综上，.