Question

已知，如图，等边△ABC中，AD=DC，BF=FC，△BDE是等边三角形．求证：四边形AEBF是矩形．

Answer

见解析

【解析】

根据等边三角形的性质可得AF=BD=BE，再求出∠EBF=∠AFB=90°，连接EF，然后利用“边角边”证明△ABF和△EFB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=EF，再证出四边形AEBF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．

证明：连接EF,

∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，
∴AF=BD，∠CBD=30°，∠AFB=90°
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，

∴∠EBF=∠DBE+∠CBD=90°
∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB，
在△ABF和△EFB中，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB=EF，
∵∠AFB=∠EBF=90°，
∴AF∥BE，
又∵AF=BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵AB=EF，
∴四边形AEBF是矩形，
故AB=EF，且四边形AEBF是矩形．