Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．

Answer

见解析.

【解析】

在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=30°，根据外角性质可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，进而可知∠4=∠5=60°，得证．

证明：如图，

∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等边三角形．