Question

如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.

a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形．

b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．

c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．

Answer

AC⊥BD AC=BD AC⊥BD且AC=BD

【解析】

首先连接AC，BD，由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形;

a、由EFGH是平行四边形可得当原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形;

b、由EFGH是平行四边形可得原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＝BD时，四边形EFGH是菱形;

c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．

连接AC，BD，

∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，

∴EH∥FG，

同理：GH∥EF，

∴四边形EFGH是平行四边形．

a、当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．

∵由①得：四边形MONH是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，

∴∠EHG＝90°，

∴四边形EFGH是矩形．

b、当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．

∵HG＝ AC，EH＝ BD，

∴EH＝GH，

∴四边形EFGH是菱形；

c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．

故答案为：a、AC⊥BD，b、AC＝BD，c、AC⊥BD且AC＝BD．