Question

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.

Answer

证明见解析

【解析】

延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得到∠1＝∠G，∠3＝∠2＝∠4，而∠1＝∠4＋∠5，则∠1＝∠4＋∠5＝∠3＋∠5＝∠GAE，得到∠G＝∠GAE，于是AE＝GE＝GB＋BE＝DF＋BE，即可得到结论．

证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠B＝∠D＝90°

∴∠ABG＝∠D＝90°
∴△ADF≌△ABG，
∴∠1＝∠G，∠3＝∠2，DF＝BG

∵AF平分∠DAE

∴∠2＝∠4＝∠3
又∵AB∥CD
∴∠1＝∠4＋∠5＝∠3＋∠5＝∠GAE
∴∠G＝∠GAE
∴AE＝GE＝GB＋BE＝DF＋BE.