Question

能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．

(1)试找出它们的共同点，并证明你的结论．

(2)写出当a=17时，b，c的值．

3，4，5	3^2+4^2=5^2
5，12，13	5^2+12^2=13^2
7，24，25	7^2+24^2=25^2
9，40，41	9^2+40^2=41^2
…	…
17，b，c	17^2+b^2=c^2

Answer

(1)设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+(n+1)，则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明见解析；(2)b=144，c=145．

【解析】

（1）根据表格找出规律再证明其成立；
（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．

【解析】
(1)以上各组数的共同点可以从以下方面

①以上各组数均满足a2+b2=c2；

②最小的数a是奇数，其余的两个数是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，

如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…

由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：

设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+(n+1)，

则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．

证明：∵m2=n+(n+1)(m为大于1的奇数)，

∴m2+n2=2n+1+n2=(n+1)2，

∴m，n，(n+1)是一组勾股数．

(2)运用以上结论，当a=17时，

∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．