Question

（探究题）给出下列算式

3²-1²=8=8×1；5²-3²=16=8×2；7²-5²=24=8×3；9²-7²=32=8×4，………

（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？用含有n的式子表示出来：_______（n为正整数）：

（2）根据你发现的规律，计算：

2005²-2003²=___________.

这时，n=_________.

Answer

（1）(2n+1)2-(2n-1)2=8n； （2）8016， 1002.

【解析】

（1）两个连续奇数的平方差等于8的倍数，由此得出第n个等式为（2n+1）2-（2n-1）2=8n，由此解决问题即可；

（2）理由（1）中的规律求得答案即可．

（1）∵①32-12=8=8×1；

②52-32=16=8×2：

③72-52=24=8×3；

④92-72=32=8×4

…

∴第n个等式为（2n+1）2-（2n-1）2=8n；

（2）20052-20032=8016，

∵2×1002+1=2005，2×1002-1=2003，

∴n=1002．

故答案为：（2n+1）2-（2n-1）2=8n；8016，1002．