Question

(1)如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.求∠DAE的度数；

(2)如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，延长AE至点F，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°.

①∠CAE＝________(含x的代数式表示)；

②求∠F的度数．

Answer

(1)∠DAE=10°；（2）①72°﹣x°，②∠F=18°．

【解析】

试题

(1) 要求∠DAE的度数，可以先求得∠CAE和∠CAD的度数再将它们相减. 先根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，再根据AE是∠BAC的角平分线这一条件得到∠CAE的度数. 由于AD是△ABC的高，所以通过直角三角形两锐角的关系可以得到∠CAD的度数. 根据上述角的度数即可求得∠DAE的度数.

(2) 根据三角形的内角和，容易用x表示∠BAC. 根据AF平分∠BAC这一条件，不难用x表示∠CAE和∠BAE. 结合上述结果，利用三角形外角的相关结论，可以得到∠AEC的度数. 根据FD⊥BC，利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到∠F的度数.

试题解析：

(1) ∵∠B=30°，∠C=50°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°.

∵AE是△ABC的角平分线，即AE平分∠BAC，

∴.

∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，

∴在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°.

(2) ①∵∠B=x°，∠C=(x+36)°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x°-(x+36)°=(144-2x)°.

∵AF平分∠BAC，

∴.

故本小题应填写：.

②∵AF平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=72°-x°.

∵∠AEC是△ABE的一个外角，

∴∠AEC=∠BAE+∠B=72°-x°+x°=72°，

∴∠FED=∠AEC=72°.

∵FD⊥BC，

∴在Rt△EDF中，∠F=90°-∠FED=90°-72°=18°.