Question

探索三角形的内角与外角平分线(三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线所组成的角)：

(1)如图①，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠BOC＝________；此时∠A与∠BOC有怎样的关系？试说明理由．

(2)如图②，BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，若∠A＝50°，则∠BOC＝________；此时∠A与∠BOC有怎样的关系？试说明理由．

(3)如图③,△ABC的外角∠CBE,∠BCF的平分线BO，CO相交于点O，若∠A＝50°,则∠BOC＝______；此时∠A与∠BOC有怎样的关系？(不需说明理由)

Answer

(1)115°，∠BOC＝90°＋∠A，.理由见解析；(2)25°，∠BOC＝∠A，理由见解析；(3)65°，∠BOC＝90°－∠A.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A．

（2）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=∠A；

（3）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC=90°-∠A．

(1)115° ∠BOC＝90°＋∠A.理由如下：

∵∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB，

∴2∠BOC＝360°－2∠OBC－2∠OCB.

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，

∴2∠BOC＝360°－(∠ABC＋∠ACB)．

∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，

∴2∠BOC＝180°＋∠A，

∴∠BOC＝90°＋∠A.

(2)25° ∠BOC＝∠A.理由如下：

∵CO平分∠ACE，

∴∠ACE＝2∠OCE.

∵∠OCE＝∠OBC＋∠BOC，

∠ACE＝∠ABC＋∠A，

∴∠ABC＋∠A＝2∠OBC＋2∠BOC.

∵BO平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠OBC，

∴2∠OBC＋∠A＝2∠OBC＋2∠BOC，

∴∠A＝2∠BOC，即∠BOC＝∠A.

(3)65° ∠BOC＝90°－∠A.