Question

如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是      ．

Answer

﹣3

【解析】

试题根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．∵双曲线的图象关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， 连接OC，如图所示， ∵△ABC是等边三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC==， ∴OC=OA，

过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，相似比， ∴面积比，

∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b）， ∵点A在双曲线上， ∴S△AEO=ab=，

∴S△OFC=FC•OF=， ∴设点C坐标为（x，y）， ∵点C在双曲线上， ∴k=xy，

∵点C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣