Question

如图1，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE＝60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E.

(1)求证：AD＝DE.

(2)若点D在CB的延长线上，如图2，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析.

【解析】

（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得；

（2）延长CA到M，使AM=BD，与（1）相同，可证△CDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△ECD（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得．

（1）证明：如图1，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，BA=BC．

∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．

∵CE是外角∠ACF的平分线，

∴∠ECF=60°，∠DCE=120°．

∴∠AMD=∠DCE．

∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠MAD+∠B，

∴∠CDE=∠MAD．

又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE．

（2）答：正确．

证明：延长CA到M，使AM=BD，与（1）相同，可证△CDM是等边三角形，

∴∠CDM=∠M=60°，CD=DM，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADM=∠EDC，

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△ECD（ASA），

∴AD=DE．