Question

在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于F，有下列结论：①∠BOE=60°，②∠ABD=∠ACE，③OE=OD，④BC=BE+CD。其中正确的是_________。（把所有正确结论的序号都选上）

Answer

①③④

【解析】

①正确．根据外角的性质得：∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°；
②不正确．∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，才有∠ABD=∠ACE；
③只要证明△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，即可解决问题；
④根据③中的三角形全等，可得对应边相等，相加可得结论．

【解析】
①如图，∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=×120°=60°，
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°
故①正确；
②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，
而已知AB和AC没有相等关系，
故②不正确；
③∵∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=60°，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠BOF，
在△BOE和△BOF中，
∵
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
同理得：△CDO≌△CFO，
∴OD=OF，
∴OD=OE，
故③正确；
④∵△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，
∴BF=BE，CF=CD，
∴BC=CF+BF=BE+CD，
故④正确；
则下列说法中正确的是：①③④
故答案为①③④．