Question

已知二次函数（为常数）．

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的下方？

Answer

（1）见解析；（2）当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是；（3）当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的下方

【解析】

（1）方法一令,求解方程的根即可,方法二根据根的判别式判断,（2）根据轴的下方的点的纵坐标为负,列不等式即可解题.

（1）证明：

方法一：当时，．

解得，．

当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根．

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点．

方法二：将原表达式化为．

因为一元二次方程的根的判别式．

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点．

（2）【解析】
当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是．

∴当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的下方．