Question

如图①，是外一点，过点做的两条切线，切点分别为．若，则点叫做的切角点．

（1）如图②，的半径是1，点O到直线的距离为2．若点是的切角点，且点在直线上，请用尺规作出点；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图③，在中，，，，是的内切圆．若点是的切角点，且点在的边上，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）的长为或2

【解析】

（1）作图见详解,（2）根据特殊直角三角形性质求出三角形的三边长和内角度数,分类讨论找到P点位置,根据特殊的角度即可解题.

【解析】
（1）如图，点即为所求．

（2）在中，，，，

，．

是的内切圆，

设、、分别与相切于点，

∴OD⊥AC，ON⊥BC，OM⊥AB，BM＝BN，CN＝CD，AM＝AD．

，四边形为矩形．

，矩形为正方形．

设的半径为，则，

，．

．

即．

解得．

，．

如图①，，且、与分别相切于点、，

点是的切角点，即点与点重合，此时．

如图②，若的切角点在线段上，与相切于点．

由切角点的概念知．

连接，有．

是的半径，．

，．

．

，．

．

如图③，若的切角点在线段上．

与上一种情况类似计算可得．

则．

综上，的长为或2．