Question

如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F.

（1）求证：EF=DF﹣BE；

（2）若△ADF的周长为，求EF的长.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
（2）设DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b>0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a-b即可．

（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，

∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，

∴∠DAF=∠ABE，

在△ADF和△BAE中，∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB，AD=AB，

∴△ADF≌△BAE（AAS），

∴AF=BE，DF=AE，

∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；

（2）【解析】
设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，

即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，

∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣，∴a﹣b=，即EF=.