Question

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC面积．

Answer

（1）答案不唯一，如.（2）证明见解析；（3）1.

【解析】

（1）此题是开放性的题目，a、b、c之间只要满足a2+b2=c2即可，故答案不唯一；（2）计算出方程根的判别式的值，根据偶次方的非负性即可知道根的判别式的值一定大于等于0，从而得出结论；（3）根据方程根的概念，将x=-1代入方程，得出a＋b＝ c．根据四边形的周长计算方法列出方程，得出c的值，再根据完全平方公式的恒等变形及勾股定理即可得出ab的值，根据三角形的面积计算方法即可得出答案.

Ⅰ令a＝3，b＝4则c＝5，写出一个“勾系一元二次方程”：3x²＋5 x＋4＝0；
Ⅱ证明：
∵△＝（c）²−4ab＝2c²−4ab＝2（a²＋b²）−4ab＝2（a²−2ab＋b²）＝2（a−b）²≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²＋cx＋b＝0必有实数根；
Ⅲ代入x＝−1得a− c＋b＝0，∴a＋b＝c．
由四边形ACDE的周长是6得a＋b＋a＋b＋c＝6，
∴2（a＋b）＋c＝ 6，

2 c＋c＝6，

3c＝6，

c＝2，a＋b＝2，
∴2ab＝（a＋b）²−（a²＋b²）＝（a＋b）²−（c²）＝8−4＝4，
∴ab＝2，

∴△ABC面积＝ab＝1.