Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；

（2）求证：BF＝EF；

Answer

见解析

【解析】

（1）连接OD，由已知易得∠B=∠C，∠C=∠ODC，从而可得∠B=∠ODC，由此可得AB∥OD，结合DF⊥AB即可得到OD⊥DF，从而可得DF与⊙O相切；

（2）连接AD，由已知易得BD=CD，∠BAD=∠CAD，由此可得DE=DC，从而可得DE=BD，结合DF⊥AB即可得到BF=EF.

（1）连结OD，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴DF⊥OD，

∴直线DF与⊙O相切；

（2）连接AD．

∵AC是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，又AB=AC，

∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，

∴DE=DC，

∴DE=DB，又DF⊥AB，

∴BF=EF．