Question

如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④.

其中正确的结论有（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD，进而得出∠ADF=∠CDB，不能得出∠ADF=∠CDE．

【解析】
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；

∴CE=AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，

∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF=∠DCE，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠BDC=∠BAC，故④正确；

∠DAE=∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE=∠DAF，

∴∠DAF=∠CBD，

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∴∠ADF=∠CAD，

∴∠ADF≠∠CDE，故③错误；

故选：C．