Question

已知是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动.

（1）如图甲，设点的运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？

（2）若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，如果动点都以的速度同时出发.

①如图乙，设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？

②如图丙，连接，请你猜想：在点的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由.

Answer

（1）；（2）①t=1;②相等，理由见解析

【解析】

（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；

（2）①因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；②面积相等．可通过同底等高验证．

【解析】
（1）∵是等边三角形，∴.

当是直角三角形时，，，

∴，∴，

∴

（2）①是等边三角形，

∴，∴，

当是等腰三角形时，，

∴

又∵，∴，

∴

∵，即，

∴

②相等

理由如下：如图，

过点作于点，过点作的延长线于点，

∵，，∴

∵，，

∴

在和中，，

∴

∴，

∴和同底等高，

∴和的面积相等.