Question

如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）当sin∠OBC=时，求BC的长；

（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据切线的判定证明即可；

（2）过O点作OE⊥BC于点E，利用勾股定理和三角函数解答；

（3）连结OC，利用菱形的性质和直角三角形的性质解答即可．

（1）∵BA平分∠OBC，∴∠OBA=∠CBA．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OAB=∠CBA，∴AO∥BC．

∵AD⊥BC，∴AD⊥AO，∴直线AD是⊙O切线；

（2）过O点作OE⊥BC于点E，得BC=2BE．在Rt△OBE中，∵sin∠OBC=，∴，OB=6，∴OE=4，∴BE=，∴；

（3）连结OC．

∵AO∥BC，AC∥OB，OA=OB，∴四边形OACB是菱形，∴OA=AC=OC=6，∴∠AOC=∠OAC=60°，∴∠DAC=30°，∴在Rt△ADC中，CD=6sin30°=3，∴AD=，∴．