Question

已知关于x的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²＝0，

（1）当k为何值时，方程有实数根；

（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且x₁²+x₂²＝4，求k的值．

Answer

（1）当k≤时，方程有实数根；（2）k＝0．

【解析】

（1）要使方程有实数根，必须△≥0，即4（k﹣1）2﹣4k2≥0；（2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2.

【解析】
（1）要使方程有实数根，必须△≥0

即4（k﹣1）2﹣4k2≥0

解得k≤，∴当k≤时，方程有实数根．

（2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2

∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2

＝4（k﹣1）2﹣2k2

＝2k2﹣8k+4，

∵x12+x22＝4，

∴2k2﹣8k+4＝4

解得k1＝0，k2＝4，

由（1）知k≤，∴k＝4不合题意，

∴k＝0．