Question

如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接AE、DE．

（1）请直接写出∠AEB的度数，∠AEB＝　   　；

（2）将△AED沿直线AD向上翻折，得△AFD．求证：四边形AEDF是菱形；

（3）连接EF，交AD于点 O，试求EF的长？

Answer

(1)75°;(2)证明见解析；（3）

【解析】

试题（1）由正方形和等边三角形的性质得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数；

（2）先判断出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性质即可得出结论；

（3）先由等边三角形的性质求出EH，进而得出OE，借助（2）的结论即可求出EF．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，

∵△EBC是等边三角形，

∴BE=BC，∠EBC=60°，

∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE，

∴∠AEB=∠BAE=（180°-30°）=75°；

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，

∵△BCE为等边三角形，

∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC，

∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE=ED，

∵△AED沿着AD翻折为△AFD，

∴AE=ED=AF=FD，

∴四边形AEDF是菱形；

（3）如图，

由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO，

∴EF⊥AD，过点E作EH⊥BC于H，

在等边三角形BCE中，BC=2，

∴EH=BC=，

∴EO=OH-EH=AB-EH=2-，

∴EF=2EO=2（2-）=4-2．