Question

已知x²+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根为x₁ ，x₂ ，且x₁²+x₂²=10，求实数a的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣．

【解析】【试题分析】

（1）欲证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；

（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.

【试题解析】

（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）

=a2+6a+9﹣4a﹣4

=a2+2a+5

=（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，

∵x12+x22=10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，

整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，

即a的值为﹣2+或﹣2﹣．