Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）．

（1）直接写出A、C两点的坐标；

（2）平行于对角线AC的直线 m 从原点O出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点M、N，设直线m运动的时间为t（秒）．

①若 MN＝AC，求 t 的值；

②设△OMN 的面积为S，当 t 为何值时，S=.

Answer

（1）A（4，0），C（0，3）；(2)①t＝2 或 6;②t＝2 或 4+2

【解析】

（1）因为四边形OABC是矩形且点B的坐标为（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C两点的坐标；
（2）①可以分为两种情况：当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM的长，即可求得t的值；当M、N分别在AB、BC上时，可证明△BMN∽△BAC，由题意可求得BM的长，即可由相似三角形的性质求得t的值，综合以上两种情况即是要求的t值．
②可以分为两种情况：当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM、ON的长，即可求得面积的表达式，再由面积为可得t的值；当M、N分别在AB、BC上时，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积，可得关于t的表达式，再由面积为可得t的值，综合以上两种情况即是要求的t值．

【解析】
（1）A（4，0），C（0，3）；

（2）①x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，直线 m 运动的时间为 t ， 可以分为两种情况：

当 M、N 分别在 OA、OC 上时，如下图所示：

∵直线 m 平行于对角线 AC

∴△OMN∽△OAC

∴==

∴t＝2；

当 M、N 分别在 AB、BC 上时，如下图所示：

∵直线 m 平行于对角线 AC

∴△BMN∽△BAC

∴=＝ ＝

∴t＝6

综上所述，当 t＝2 或 6 时，MN＝AC

得

②当 0＜t≤4 时，OM＝t，△OMN∽△OAC，得 ，

∴ON＝t，S＝t2＝

∴t＝2；

当 4＜t＜8 时，

如图，∵OD＝t，∴AD＝t﹣4．

由△DAM∽△AOC，可得 AM＝（t﹣4）

∴BM＝6﹣t．

由△BMN∽△BAC，可得 BN＝BM＝8﹣t

∴CN＝t﹣4

S＝矩形 OABC 的面积﹣Rt△OAM 的面积﹣Rt△MBN 的面积﹣Rt△NCO 的面积

＝12﹣﹣（8﹣t）（6﹣t）﹣

＝﹣t2+3t，

∴﹣t2+3t=

解得：t=4±2

∴t=4+2

故当 t＝2 或 4+2时，△OMN 的面积 S＝ ．