Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD=12，⊙O的半径为

【解析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；

（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．

（1）如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，

则∠BCE=90°，

∴∠OCE+∠OCB=90°，

∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴∠A=∠D，

∵OE=OC，

∴∠E=∠OCE，

∵BC=CD，

∴∠CBD=∠D，

∵∠A=∠E，

∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC+∠CBD=90°，

即∠EBD=90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E=，

设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，

∵AB=BC=10=4x，

x=，

∴EB=5x=，

∴⊙O的半径为，

过C作CG⊥BD于G，

∵BC=CD=10，

∴BG=DG，

Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，

∴，

∴DG=6，

∴BD=12．