Question

下列命题中，其中正确的命题个数有（　　）

（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝2，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；

（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；

（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；

（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

B

【解析】

（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；

（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；

（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；

（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．

（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=6，∠B=45°，

∴AD=ABsin45°=6×=3，

又∵AC=2，

∴sin∠C=，

∴∠C=60°，故本小题正确；

（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；

（3）∵半圆的圆心角为180°，

∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，

故本小题错误；

（4）①若AP是较长线段，则AP2=AB•BP，

即AP2=1×（1-AP），

AP2+AP-1=0，

解得AP=，

②若AP是较短的线段，则

AP=1-=，

故本小题错误．

综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．

故选B．