Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC²=AB•AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．

（1）求证：△ADC∽△ACB．

（2）若AD=2，AB=3，求的值．

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得

到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

(1)证明：∵AC 平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵AC2=AB•AD，

∴= ，

∴△ADC∽△ACB；

(2)∵△ADC∽△ACB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵点 E 为 AB 的中点，

∴CE=AE= AB= ，

∴∠EAC=∠ECA，

∴∠DAC=∠EAC，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

∴== ，

∴=．