Question

如图已知为⊙的直径，切⊙于点，弦于点，连结.

（1）探索满足什么条件时，有，并加以证明.

（2）当，，，求△面积.

Answer

（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD，理由见解析；（2）△OCF面积为12cm2

【解析】

（1）连接OC，由等边对等角得到∠OCA =∠OAC．再由角平分线定义得到∠OAC =∠DAC，等量代换得到∠OCA = ∠DAC ，根据内错角相等，两直线平行，得到 OC∥AD．由切线的性质及平行线的性质即可得出结论；

（2）先证明AC平分∠BAD，再根据角平分线的性质得到CD =CE，由垂径定理得到CF的长．在Rt△OEC中，由勾股定理得到OE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD．证明如下：

连接OC．

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC．

∵AC平分∠BAD，∴ ∠OAC =∠DAC，∴ ∠OCA = ∠DAC ，∴ OC∥AD．

∵ CD切⊙O于C点，∴ OC⊥CD，∴∠OCD=90°．

∵OC∥AD，∴∠ADC=180°－∠OCD=90°，∴AD⊥CD．

(2) 连接OF．

∵ CD切⊙O于C点，∴ OC⊥CD．

∵ AD⊥CD，∴ OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC，∴∠OAC =∠DAC，∴ AC平分∠BAD，∴ CD =CE．

∵ OA =5，CD =4，∴OC=OA=5，CE=4．

∵CF⊥AB ，∴CF = 2CE= 2×4=8，OE===3．

△OCF面积=CF×OE÷2= 8×3÷2=12．

故△OCF面积为12cm2．