Question

如图，正方形的边长为，点是边上的动点，从点开始沿向运动. 以为边，在的上方作正方形，交于点，连接、.请探究：

（1）线段与是否相等？请说明理由.

（2）若设，，当取何值时，最大？最大值是多少？

（3）当点运动到的何位置时，△∽△？

Answer

（1）AE =CG，理由见解析；（2）当时，有最大值为；（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，理由见解析

【解析】

（1）AE=CG，要证结论，必证△ABE≌△CBG，由正方形的性质可证明∠3=∠4，由 SAS即可得到结论．

（2）先证△ABE∽△DEH，所以，即可求出函数解析式，继而求出最值．

（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因为△ABE∽△DEH，所以，即，所以当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE．

（1）AE =CG．理由如下：

正方形ABCD和正方形BEFG中，∠3+∠EBC=90°，∠4+∠EBC=90°，∴ ∠3=∠4．

又∵AB=BC，BE=BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠FEB=90°，∴ ∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴ ∠1=∠3．

又∵∠A=∠D，∴△ABE∽△DEH ，∴，∴ ，∴ ，∴ 当时，有最大值为．

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE．理由如下：

∵ E是AD中点，∴ ，∴ ．

又∵△ABE∽△DEH，∴ ．

又∵ ，∴ ．

又∵，∴△BEH∽△BAE．