Question

对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”. 若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时．

①点O到线段AB的“绝对距离”为____；

②点M表示的数为，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则的值为______；

(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动. 设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求的值．

Answer

(1)①1；②−4或 2或 8；(2)或.

【解析】

（1）根据绝对距离的含义分类讨论列方程即可,（2）分类讨论, 当时或当时，列方程求解即可.

解：(1) 1；

理由：∵点A表示的数为-1，点B表示的数为5,

∴OA=1,OB=5,

∵15,

∴点O到线段AB的“绝对距离”为1,

 −4或 2或 8；

理由：分三种情况；

当点M在A的左侧时,此时m-1, 点M到线段AB的“绝对距离”=-1-m=3,解得：m=-4,

当点M在A,B之间时, 此时m5, 点M到线段AB的“绝对距离”=m+1=3或5-m=3,解得两个方程的答案都是m=2,

当点M在B的右侧时,此时m5, 点M到线段AB的“绝对距离”=m-5=3,解得：m=8,

综上,的值为−4或 2或 8.

(2)当时， 可得，解得，

而当时，，<，点P到线段AB的“绝对距离”为，不符合题意.

所以.

当时， 可得，解得，而当

时，，>，点P到线段AB的“绝对距离”1，不符合题意.

所以.

综上所述，所以或.