Question

已知△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．

探究：如图①，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD．求证：BE＝AD，BE⊥AD．

拓展：如图②，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE．若AE＝2，AD＝4，则的值为　   　．

Answer

(1)见解析；（2）

【解析】

（1）根据等腰三角形得BC＝CA，EC＝CD，证明△BCE≌△ACD，根据同角的余角相等即可证明,（2）作辅助线证明FM＝FN，根据S△ABE=S△BEF+S△AEF,求出EF,FC的长即可求的值.

解：（1）探究：延长DA交BE于F．

∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴BC＝CA，EC＝CD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BEC+∠EBC＝90°，

∴∠ADC+∠EBC＝90°，

∴∠BFD＝90°，

∴BE⊥AD．

（2）拓展：作FM⊥DE于M，FN⊥BE于N．

由探究可知：BE⊥DE，BE＝AD＝4，∠FEM＝∠FEB＝45°，

∵FM⊥DE于M，FN⊥BE于N．

∴FM＝FN，

∵EB•FN+•AE•FM＝BE•AE，

∴FM＝FN＝，

∴EF＝，

∵CE＝CD＝3,

∴CF＝，

∴EF：CF＝4：5．

故答案为．