Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．

（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

（2）求∠FAB的余切值；

（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．

Answer

抛物线的解析式为y=．抛物线的对称轴为x=1；（2）；（3）（0，6）或P（0，﹣）．

【解析】

试题（1）根据代入法求出函数的解析式，然后根据对称轴的关系式求出对称轴；

（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M，设E（0，t），则OE=t，然后根据题意得到用t表示的F点的坐标，代入解析式可求得t的值，然后根据∠FAB的余切值；

（3）由C点的坐标求出D点的坐标，然后根据∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF，然后分情况讨论：①当点P在AF的上方和②当点P在AF的下方，求出P点的坐标.

试题解析：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，

∴抛物线的解析式为y=+bx﹣3．

将A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．

∴抛物线的对称轴为x=﹣=1．

（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M．

设E（0，t），则OE=t．

∵，

∴==．

∴F（6，4t）．

将点F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t=．

∴cot∠FAB==．

（3）∵抛物线的对称轴为x=1，C（0，﹣3），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，

∴D（2，﹣3）．

∴cot∠DAB=，

∴∠FAB=∠DAB．

如下图所示：

当点P在AF的上方时，∠PFA=∠DAB=∠FAB，

∴PF∥AB，

∴yp=yF=6．

由（1）可知：F（6，4t），t=．

∴F（6，6）．

∴点P的坐标为（0，6）．

当点P在AF的下方时，如下图所示：

设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，

∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m=，

∴G（，0）．

设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得：，

解得：k=，b=﹣．

∴P（0，﹣）．

综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．