Question

阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其两点间的距离．例如P₁（2，-4）、P₂（7，8），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线再坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x₂﹣x₁|或|y₂﹣y₁|．

（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），试求A、B两点间的距离____．

（2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N 两点的距离为    ．

（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E(-2，2)、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．

（4）在（3）的条件下，平面直角坐标中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度．

Answer

（1）13；（2）5；（3）△DEF为等腰三角形；（2）图详见解析，P（，0），PD+PF最短为.

【解析】

（1）根据阅读材料中的A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出A与B的距离即可；

（2）根据两点在平行于y轴的直线上，由M与N的纵坐标求出MN的距离即可；

（3）由三顶点坐标求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形形状；

（4）找出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于P点，此时PD+PF最短，设直线DF′的解析式为y=kx+b，将D与F′的坐标代入求出k与b的值，确定出直线DF′解析式，令y=0求出x的值，确定出P坐标，由D与F′坐标，利用两点间的距离公式求出DF′的长，即为PD+PF的最短长度．

（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB13；

（2）∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，∴MN=|4﹣（﹣1）|=5；

（3）△DEF为等腰三角形，理由为：

∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE5，DF5，EF6，即DE=DF，则△DEF为等腰三角形；

（4）作F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y=kx+b，将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，解得：，∴直线DF′解析式为y，令y=0，得：x，即P（，0）．

∵PF=PF′，∴PD+PF=DP+PF′=DF′，则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．