Question

探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=　  　°；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=133°，∠BG₁C=70°，求∠A的度数．

Answer

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①50°；②85°；③63°.

【解析】

（1）延长BD交AC于F，根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根据∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度数．

③根据∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C=70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD=133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数．

（1）如图（1），延长BD交AC于F，根据外角的性质，可得：∠DFC=∠A+∠B．

∵∠BDC=∠DFC+∠C，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC．

∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°﹣40°=50°．

故答案为：50．

②由（1），可得：∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE﹣∠DAE=130°﹣40°=90°，∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∴∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠DAE=45°+40°=85°；

③∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A．

∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°．

∵∠ABD+∠ACD=133°﹣x°

∴（133﹣x）+x=70，∴13.3x+x=70，解得：x=63，即∠A的度数为63°．