Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD＝2．

【解析】

（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．

（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD平分BC，即DB＝DC，

∵OA＝OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙0的切线；

（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，

∴△DEC∽△ADB，

∴，

∴BD•CD＝AB•CE，

∵BD＝CD，

∴BD2＝AB•CE，

∵⊙O半径为3，CE＝2，

∴BD＝＝2．