Question

已知k为非负实数，关于x的方程x²﹣（k+1）x+k＝0和kx²﹣（k+2）x+k＝0．

（1）试证：前一个方程必有两个非负实数根；

（2）当k取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根．

Answer

（1）证明见解析；（2）当k＝2或0或时，述两个方程有一个相同的实数根．

【解析】

（1）先根据根的判别式求解，再根据根与系数的关系求解即可；（2）先求出第一个方程的两个根，再分类求出即可．

（1）证明：x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

即方程关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0一定有两个实数根；

设方程的两根为x1，x2，

则根据根与系数的关系得：x1+x2＝k+1，x1•x2＝k，

∵k为非负实数，

∴x1+x2＝k+1＞0，x1•x2＝k≥0，

∵由x1•x2＝k≥0得出方程有同号两个根或有一个根为0；

∴由x1+x2＝k+1＞0，x1•x2＝k≥0得出方程有两个正实数根或有一个根为0，

所以方程x2﹣（k+1）x+k＝0必有两个非负实数根；

（2）x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

方程的根为，

即方程的根为k和1；

当相同的根是k时，把x＝k代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k3﹣（k+2）k+k＝0，

解得：k＝0或k＝或k＝，

∵k为非负实数，

∴k＝舍去；

当相同的根是1时，把x＝1代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k﹣（k+2）+k＝0，

解得：k＝2；

所以当k＝2或0或时，上述两个方程有一个相同的实数根．