Question

已知⊙O的直径AB＝10，弦BC＝6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．

（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；

（2）如图②，若PD∥AB，

①求证：CD平分∠ACB；

②求弦AD的长．

Answer

（1）AD＝8；（2）①证明见解析；②AD＝5．

【解析】

（1）先求得∠ACB=90°，根据勾股定理求得AC，根据切线的性质求得PD=PC，∠APC=∠APD，然后根据SAS求得△APC≌△APD，即可求得AD=AC=8；（2）连接OD、BD，根据切线的性质得出OD⊥PD，进而求得OD⊥AB，根据垂直平分线的性质求得AD=BD，从而求得CD平分∠ACB．根据勾股定理即可求得弦AD的长．

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝8，

∵PD、PC是⊙O的切线，

∴PD＝PC，∠APC＝∠APD，

在△APC和△APD中，

，

∴△APC≌△APD（SAS），

∴AD＝AC＝8．

（2）证明：①连接OD、BD，

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PD，

∵PD∥AB，

∴OD⊥AB，

∴，

∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD，

∴CD平分∠ACB．

②∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

在RT△ADB中，AD2+BD2＝AB2，

∴2AD2＝102，

∴AD＝5．