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如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的...

如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3)B(59),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

(2)轴上是否存在一点C,与AB组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PAPB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.

 

(1),顶点D(2,);(2)C(,0)或(,0)或(,0);(3) 【解析】 (1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入函数表达式,即可求解; (2)分AB=AC、AB=BC、AC=BC,三种情况求解即可; (3)由S△PAB•PH•xB,即可求解. (1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2①,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入上式得:9=25a+5b﹣3②,联立①、②解得:a,b,c=﹣3,∴抛物线的解析式为:yx2x﹣3. 当x=2时,y,即顶点D的坐标为(2,); (2)A(0,﹣3),B(5,9),则AB=13,设点C坐标(m,0),分三种情况讨论: ①当AB=AC时,则:(m)2+(﹣3)2=132,解得:m=±4,即点C坐标为:(4,0)或(﹣4,0); ②当AB=BC时,则:(5﹣m)2+92=132,解得:m=5,即:点C坐标为(5,0)或(5﹣2,0); ③当AC=BC时,则:5﹣m)2+92=(m)2+(﹣3)2,解得:m=,则点C坐标为(,0). 综上所述:存在,点C的坐标为:(±4,0)或(5,0)或(,0); (3)过点P作y轴的平行线交AB于点H.设直线AB的表达式为y=kx﹣3,把点B坐标代入上式,9=5k﹣3,则k,故函数的表达式为:yx﹣3,设点P坐标为(m,m2m﹣3),则点H坐标为(m,m﹣3),S△PAB•PH•xB(m2+12m)=-6m2+30m=,当m=时,S△PAB取得最大值为:. 答:△PAB的面积最大值为.
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求弦AD的长.

 

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2)求出之间满足的函数表达式;

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